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Convention d'écriture

Les vecteurs sont en gras dans le texte, avec les flèches habituelles sur les images

Un moteur à quatre temps

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Modélisation et paramétrage

L'analyse du fonctionnement met en évidence la présence de trois solides principaux :

• le stator, repéré 0, auquel on associe un repère (O, x₀, y₀, z₀) ;
• l'arbre moteur, repéré 1, auquel on associe un repère (O, x₁, y₁, z₁), tel que z₁ = z₀
  • cet arbre est lié au stator par une liaison pivot d'axe (0, z₀) ;
  • l'angle définissant la rotation possible est noté θ ;
  • on définit un point A par OA = e x₁.
• le rotor, repéré 2, auquel on associe un repère (A, x₂, y₂, z₂), tel que z₂ = z₁
  • ce rotor est lié au stator par une liaison pivot d'axe (A, z₁) ;
  • l'angle définissant la rotation possible est noté β ;
  • de plus, ce rotor roule sans glisser en un point B sur un pignon fixe du stator ;
  • la position du point B est caractérisée par le vecteur OB = - b x₁

Questions

Q1 Déterminer le vecteur vitesse V(A, 2/0).

Q2 Exprimer le vecteur rotation Ω(2/0) en fonction des dérivées des paramètres de mise en position β et θ.

Q3 Déterminer à partir des résultats précédents le vecteur vitesse V(B, 2/0).

Q4 En traduisant le non glissement en B, déterminer la relation dβ/dt = f(dθ/dt,b,e).

Q5 Les positions angulaires θ₀ et β₀ de l'arbre et du rotor à l'instant t=0 sont choisies telles que θ₀=0 et β₀=0. Déterminer la relation β = g(θ,b,e).

Q6 Soit E le point du rotor tel que AE = d x₂. Exprimer le plus simplement possible le vecteur vitesse V(E, 2/0), en fonction des paramètres géométriques b, d, e et du seul paramètre cinématique dθ/dt.

Q7 Soient x_E et y_E les coordonnées du point E dans le repère R₀. Exprimer ces coordonnées en fonction de b, d, e et θ(t).

Q8 On donne e=1cm, b = 2cm et d = 10cm. Tracer dans le plan (O, x₀, y₀) et à l'échelle 1:1 la trajectoire du point E dans le bâti définissant ainsi la forme de la courbe directrice du cylindre épitrochoïde.

Q9 Combien de tours de l'arbre moteur sont nécessaires pour que le point E repasse par la même position ?