Présentation - Sujet - Corrigé

Éléments de corrigé

Lecture et compréhension des documents fournis

La lecture et la compréhension des documents fournis fait ressortir la structure suivante

Paramétrage

Les deux torseurs cinématiques connus sont ceux des liaisons pivots

et on définit les angles associés

Convention d'écriture

Les vecteurs sont en gras dans le texte, avec les flèches habituelles sur les images

Q1 Détermination d'un vecteur vitesse

La composition des mouvements permet d’écrire au point A

Sur le mouvement 1/0, la formule de changement de point s’écrit 

Par substitution, on obtient

Ce qui donne, tout calcul fait

Q2 Détermination d'un vecteur rotation

La composition des vecteurs rotations donne

Par substitution, on en déduit

Q3 Mouvement 2/0

Le champ des vecteurs vitesses du mouvement 2/0 est entièrement défini par le calcul préliminaire des vecteurs Ω(2/0) et de V(A, 2/0), et il suffit d’écrire simplement

Après substitution et calcul, on obtient

Q4 Non glissement au point B

Le non glissement au point B dans le mouvement 2/0 s’exprime par la relation

On déduit ainsi de l’équation trouvée à la question précédente la relation

Q5 Relation entre les angles

La relation précédente s’intègre immédiatement en

Q6 Que se passe-t-il au point E ?

Toujours sur le mouvement de 2/0, le calcul direct donne

L’exploitation de la relation sur les taux de rotation permet de dire que

On obtient finalement la forme la plus simple du vecteur vitesse recherché

Les figures de définition des angles θ et θ+β permettent de déterminer les composantes de ce vecteur vitesse dans la base B₀

Q7 Equations de la trajectoire

Par intégration des équations précédentes, on obtient

Q8 Tracé de la courbe directrice

Initialisation et définition de la courbe

> restart:with(plots):

> xe:=d*cos(theta*e/(e+b))+e*cos(theta);
  ye:=d*sin(theta*e/(e+b))+e*sin(theta);

Valeurs numériques et tracé

> val:=[e=1,b=2,d=10];

> courbe:=plot(subs(val,[xe,ye,theta=0..2*Pi*(e+b)/e]),thickness=3,color=black):

> display(courbe, title=`Moteur Wankel`, scaling=constrained);

Q9 Exploitation d'un résultat

Le parcours complet de la trajectoire par le point E nécessite 3 tours de l'arbre moteur.