P.F.D.
Mécanique - Dynamique

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  Cours - Réf:24030 - MàJ:10-01-2008

Six équations scalaires
pour six degrés de liberté...

Principe fondamental de la dynamique

Convention de notation

Dans cette fiche, un système matériel quelconque est noté Σ, un solide indéformable S.

^Énoncé du principe fondamental de la dynamique

Il existe au moins un repère galiléen Rg et une chronologie
tels que pour tout ensemble matériel Σ et à chaque instant t,
le torseur dynamique associé au mouvement de ce système par rapport à ce repère
est égal au torseur des actions mécaniques extérieures exercées sur Σ.

PFD

ou bien

PFD

Remarques

L'égalité des deux torseurs est à comprendre au sens d'équivalence, pas au sens d'affectation. En effet, ces deux torseurs représentent des quantités qui s'évaluent indépendamment les unes des autres. C'est pourquoi les deux formes mathématiques sont données au choix...

Cette équivalence torsorielle donne six équations scalaires, ce qui est à mettre en parallèle avec les six degrés de liberté d'un solide dans l'espace.

 

^Définitions annexes

Référentiel galiléen « Rg»

Un repère galiléen est le repère de référence en mécanique newtonienne. Il est supposé exister lors de l'énoncé du principe fondamental de la dynamique, mais on n'en connaît que des approximations plus ou moins fines. Ce sont les repères héliocentrique, géocentrique, terrestre...

Par ailleurs, le temps est supposé être le même en tout lieu de l'espace. Cette dernière proposition trouve ses limites en mécanique relativiste.

Milieu environnant «Σ barre »

Le milieu environnant d'un système quelconque Σ est composé de tous les éléments de l'univers autres que le système, supposés être en relation avec ce dernier.

^Conséquences du principe fondamental de la dynamique

Les conséquences du principe fondamental de la dynamique sont nombreuses, et s'énoncent sous forme de théorèmes. Les trois premiers sont à retenir, les trois derniers sont à étudier avec précautions :

Théorème des actions réciproques

Soit Σ un système matériel décrit en deux parties Σ1 et Σ2 disjointes.

Ces deux parties vérifient Σ1 ∩ Σ2 = ∅ et Σ1 ∪ Σ2 = Σ, et le torseur des actions mécaniques exercées par Σ1 sur Σ2 est l'opposé du torseur des actions mécaniques exercées par Σ2 sur Σ1.

actions réciproques

Ce théorème se démontre simplement en appliquant le principe fondamental de la dynamique aux trois systèmes Σ1, Σ2 et Σ dans leurs mouvements dans le référentiel galiléen.

Démonstration

Le torseur dynamique D(Σ/Rg) s'exprime comme somme de D1/Rg) et de D2/Rg), et c'est ainsi que la somme terme à terme (1)+(2)-(3) donne le résultat.

Théorème de l'équilibre

Cité trop souvent comme principe fondamental de la statique, ce théorème fait l'objet d'une fiche particulière.

Théorèmes énergétiques

Extraire des six équations scalaires une équation intéressant les mouvements effectifs, telle est l'ambition de ces théorèmes : ils méritent une fiche particulière.

Théorèmes de la résultante, du moment dynamique, du moment cinétique...

Ces théorèmes sont parfois formulés, mais ne méritent pas d'être cités ici. En effet, ils ne concernent que des cas particuliers et sont souvent retenus à tort comme expression du principe fondamental de la dynamique...
Pour ne donner qu'un exemple, le théorème du moment cinétique n'est valable que pour le centre d'inertie d'un système Σ ou pour un point fixe dans le référentiel galiléen !


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