Vecteur accélération
Mécanique - Cinématique

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  Cours - Réf:22018 - MàJ:21-09-2004

Composition des vecteurs accélération

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Énoncé du problème

Est-il possible d'écrire une relation simple de composition des vecteurs accélérations ?

Étude d'un mouvement

Soit un solide 3 en mouvement par rapport à 2, lui même en mouvement par rapport à 1.
Pour tout point P fixe dans 3 à chaque instant et par définition du vecteur accélération

Equation 1

Par composition des vecteurs vitesses

Equation 2

L'opérateur de dérivation vectorielle est un opérateur linéaire. Le vecteur accélération recherché est donc à calculer comme somme de deux termes

Equation 3

Calcul du premier terme

La formule de dérivation vectorielle permet d'écrire:

Equation 4

Par définition du vecteur accélération, et comme le point P est fixe dans 3 à chaque instant

Equation 5

Le premier terme recherché est donc de la forme

Equation 6

Calcul du second terme

Le calcul de ce terme est plus délicat, car le point P n'est pas fixe dans 2 à chaque instant.
Il s'agit du point de 2 coïncidant à l'instant t considéré avec le point P fixe dans 3, tel que cela a été étudié lors de la composition des vecteurs vitesses.

Pour résoudre ce problème, la méthode la plus simple à mettre en œuvre est d'effectuer le calcul en considérant un point fixe dans 2 à chaque instant, et à comparer le résultat avec celui obtenu lors de l'étude du champ des vecteurs accélérations :

Soit I ce point fixe dans 2 à chaque instant

Equation 7

Il est donc nécessaire de déterminer deux nouveaux termes, car

Equation 8

Par définition du vecteur accélération, et comme le point I est fixe dans 2 à chaque instant

Equation 9

Par ailleurs, en utilisant la formule de dérivation d'un produit

Equation 10

La formule de dérivation vectorielle permet d'écrire immédiatement

Equation 11

Le point P est fixe à chaque instant dans 3 et le point I est fixe à chaque instant dans 2. On a donc, par définition du vecteur vitesse

Equation 12

Après les différentes substitutions, l'expression détaillée du terme recherché devient

Equation 13

Si le point P était un point fixe à chaque instant dans 2, on aurait la relation vue lors de l'étude du champ des vecteurs accélérations, à savoir

Equation 14

On en déduit la forme finale du second terme recherché

Equation 15

Conclusion

La composition des vecteurs accélérations s'écrit

Equation 16

avec :

Terme 1 Vecteur accélération du point P dans le mouvement de 3 par rapport à 1.
Terme 2 Vecteur accélération du point P dans le mouvement de 3 par rapport à 2.
Terme 3 Vecteur accélération du point P s'il était immobile dans 2 au cours du temps, dans le mouvement de 2 par rapport à 1.
Terme 4 Accélération complémentaire, appelée accélération de Coriolis, due au mouvement du point P dans un repère lui-même en rotation.

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