Une histoire de dents
sans trop mettre le nez dedans...

^ Définition et notations

Définition

On appelle engrenage l'association de deux pignons,
ou d'un pignon et d'une roue dentée,
ou d'un pignon et d'une couronne.

Quelques exemples

Un pignon à denture hélicoïdale	Deux pignons à denture droite	Renvoi conique	Une couronne à dents intérieures	Pignon-crémaillère

Vocabulaire associé

• une petite roue dentée est souvent appelée pignon ;
• une grande roue dentée est souvent nommée couronne ;
• une crémaillère est une roue dentée de rayon infini.

Notation

• Le nombre de dents d'un pignon k est un entier naturel habituellement noté Z_k.

^ Schéma cinématique

On considère un mécanisme composé de trois ensembles :

• un bâti, repéré 1 ;
• un pignon 2, en liaison pivot d'axe Δ₁₂ avec le bâti ;
• une roue dentée 3, en liaison pivot d'axe Δ₁₃ avec le bâti ;
  cette roue dentée engrène avec le pignon 2.

Une transmission par engrenage se conçoit au sein d'un mécanisme, composé d'une chaîne fermée de structure pivot-pivot-engrenage.

^ Modèle de comportement élémentaire

Ce mécanisme comporte une chaîne fermée de solides, ce qui fournit 6 équations scalaires lors d'une approche cinématique, pour un nombre d'inconnues indéterminé.

On se propose de trouver une relation entre les vitesses de rotation des arbres d'entrée et de sortie en évitant les inconnues associées aux contacts au niveau de l'engrènement.

Le modèle cinématique de comportement équivalent choisi est le roulement sans glissement au point I de deux cylindres de révolution de diamètres appelés diamètres primitifs.

Soient e la valeur de l'entraxe fabriqué sur le bâti 1, Z₂ et Z₃ respectivement les nombres de dents taillés sur le pignon 2 et sur la roue 3. Les deux relations liant les valeurs des diamètres primitifs D_p2 et D_p3 à l'entraxe et aux nombres de dents Z₂ et Z₃ sont

Le non glissement au point de contact I, entre le pignon 2 et la roue 3 se traduit par

Par composition des mouvements sur la chaîne ouverte 3-1-2, on peut écrire au point I

En changeant alors de points sur les champs des vecteurs vitesse des mouvements 3/1 et 2/1, on obtient

Les vecteurs vitesses des points A et B sont nuls pour les mouvements considés, car les axes de rotation sont l'un et l'autre immobiles dans le repère attaché à la pièce 1. Tout calcul fait, on arrive alors à l'égalité scalaire

^ Méthode pratique de calcul d'un rapport de transmission

Soit un engrenage composé de deux pignons i et k, - ou d'un pignon et d'une couronne - ou de deux pignons coniques, dont les nombres de dents sont respectivement Z_i et Z_k

Choisir le référentiel r dans lequel les axes de rotation sont fixes.

Dans ce référentiel et avec les hypothèses faites, le rapport des fréquences de rotation est égal au rapport inverse des rayons, le signe restant à définir au cas par cas.