Géométrie du triangle
Mécanique

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  Cours - Réf:21013 - MàJ:20-09-2005

Soit l'espace orienté par la normale sortante de la feuille. Ce choix définit pour le plan de la feuille le sens de rotation positif.

Orientation du plan     Orientation du plan

Soit un triangle ABC. Les côtés opposés aux sommets A, B et C sont respectivement de longueur a, b et c. Les angles intérieurs aux sommets A, B et C sont posés positifs est sont respectivement notés α, β et γ.

Triangle

Toutes les relations possibles entre les paramètres géométriques sont issues soit de l'équation scalaire de fermeture angulaire, soit de l'équation vectorielle dite de fermeture géométrique.

Equation scalaire de fermeture angulaire

La somme des angles intérieurs orientés est égale à 180°

α + β + γ = π

Figure géométrique

Cette relation se généralise à tout polygone plan.
La somme des angles intérieurs d'un polygone à n côtés est égale à (n-2) x 180°

Equation vectorielle de fermeture géométrique.

Equation

Cette équation se généralise à tous les polygones, qu'ils soient plans ou gauches.

Application : Relation de pythagore généralisé

On cherche une relation entre les longueurs des côtés et un seul des angles, par exemple α. Cette relation s'obtient immédiatement à partir de l'équation vectorielle de fermeture géométrique, en la mettant sous la forme

Equation 1

Elevée au carré, cette équation devient

Equation 2
Equation 3

Ce qui donne, après substitution

Equation 4

Figure

 


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