Où l'on peut être inerte
sans pour autant être à la masse :-)

Convention de notation

Pour cette fiche , un système matériel quelconque est noté Σ, un solide indéformable S.
Le point courant du système est noté P, un point quelconque, mais fixé une fois choisi, est noté Q.

^Définition de la masse

La masse est une grandeur scalaire positive associée à un système matériel.

En mécanique classique, cette masse est représentative de la quantité de matière contenue dans le système matériel.

Propriétés

La masse définit une mesure complètement additive :
Soient Σ₁ et Σ₂ deux systèmes matériels quelconques mais disjoints de masses respectives m₁ et m₂.
Le système Σ = Σ₁ U Σ₂ est de masse m = m₁ + m₂.

^Système à masse conservative

Un système à masse conservative est un système dont la masse ne varie pas au cours du temps.

Conséquence

Pour un système Σ à masse conservative, la dérivée par rapport au temps de l'intégrale d'une fonction f quelconque du point courant P et du temps t est égale à l'intégrale de la dérivée de cette même fonction par rapport au temps

^Centre de masse

Soient un système matériel quelconque Σ, de masse m, et P un point courant de ce système, de masse dm.

Le centre de masse d'un système matériel quelconque Σ
est le point noté G défini à partir d'un point quelconque Q par

Propriété 1

En mécanique classique, le centre de masse est également appelé centre de gravité, ou centre d'inertie du système Σ.

Propriété 2

Soient Σ₁ et Σ₂ deux systèmes matériels quelconques mais disjoints de masses respectives m₁ et m₂.
Soient G₁ et G₂ les centres de masse respectifs des systèmes Σ₁ et Σ₂.

Soit G le centre de masse du système Σ = Σ₁ U Σ₂ de masse m = m₁ + m₂.
Soit Q un point quelconque.

Le point G vérifie

Propriété 3

Soit G le centre de masse d'un système Σ de masse m.
Soit P un point courant de ce système, de masse dm, en mouvement par rapport à un repère R.

Les vecteurs vitesse et accélération du centre de masse G par rapport au repère R se déduisent des vecteurs vitesses et accélérations des points P par les relations

Propriété 4

Soient un solide indéformable S de masse m et G son centre de masse.

Ce point G est un point du solide S.

^Détermination du centre de masse

Par ses coordonnées

Cette méthode est toujours applicable, donc n'est à utiliser qu'en tout dernier ressort.

Par symétrie

Soit un solide indéformable S et homogène admettant

• un centre de symétrie O,
• un axe de symétrie (Δ),
• un plan de symétrie (Π),

le centre de masse est respectivement situé

• au point O,
• sur l'axe (Δ),
• dans le plan (Π).

Comme barycentre...

... de centres de masse connus de volumes élémentaires, pondérés de leurs masses respectives.

Exemple

Soit un solide (D), homogène, d’épaisseur négligeable, de masse surfacique ρ et de masse totale m. Ce solide est formé d’un disque plein (D₁) percé d’un disque (D₂).

Déterminer la position du centre d’inertie G de ce solide.

Le centre de masse G du solide (D) est le barycentre des centres de masse des disques (D₁) et (D₂) affectés respectivement des coefficients +m₁ et -m₂, ce qui donne, tout calcul fait