Masse - Centre de masse
Mécanique - Dynamique

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  Cours - Réf:24010 - MàJ:26-11-2005

Convention de notation

Pour cette fiche , un système matériel quelconque est noté Σ, un solide indéformable S.
Le point courant du système est noté P, un point quelconque, mais fixé une fois choisi, est noté Q.

^Définition de la masse

La masse est une grandeur scalaire positive associée à un système matériel.

En mécanique classique, cette masse est représentative de la quantité de matière contenue dans le système matériel.

Propriétés

La masse définit une mesure complètement additive :
Soient Σ1 et Σ2 deux systèmes matériels quelconques mais disjoints de masses respectives m1 et m2.
Le système Σ = Σ1 U Σ2 est de masse m = m1 + m2.

^Système à masse conservative

Un système à masse conservative est un système dont la masse ne varie pas au cours du temps.

Conséquence

Pour un système Σ à masse conservative, la dérivée par rapport au temps de l'intégrale d'une fonction f quelconque du point courant P et du temps t est égale à l'intégrale de la dérivée de cette même fonction par rapport au temps

Système à masse conservative

^Centre de masse

Soient un système matériel quelconque Σ, de masse m, et P un point courant de ce système, de masse dm.

Le centre de masse d'un système matériel quelconque Σ
est le point noté G défini à partir d'un point quelconque Q par

Centre de masse

Propriété 1

En mécanique classique, le centre de masse est également appelé centre de gravité, ou centre d'inertie du système Σ.

Propriété 2

Soient Σ1 et Σ2 deux systèmes matériels quelconques mais disjoints de masses respectives m1 et m2.
Soient G1 et G2 les centres de masse respectifs des systèmes Σ1 et Σ2.

Soit G le centre de masse du système Σ = Σ1 U Σ2 de masse m = m1 + m2.
Soit Q un point quelconque.

Le point G vérifie

Centre de masse

Propriété 3

Soit G le centre de masse d'un système Σ de masse m.
Soit P un point courant de ce système, de masse dm, en mouvement par rapport à un repère R.

Les vecteurs vitesse et accélération du centre de masse G par rapport au repère R se déduisent des vecteurs vitesses et accélérations des points P par les relations

Centre de masse

Propriété 4

Soient un solide indéformable S de masse m et G son centre de masse.

Ce point G est un point du solide S.

^Détermination du centre de masse

Par ses coordonnées

Cette méthode est toujours applicable, donc n'est à utiliser qu'en tout dernier ressort.

Par symétrie

Soit un solide indéformable S et homogène admettant

le centre de masse est respectivement situé

Comme barycentre...

... de centres de masse connus de volumes élémentaires, pondérés de leurs masses respectives.

Exemple

Soit un solide (D), homogène, d’épaisseur négligeable, de masse surfacique ρ et de masse totale m. Ce solide est formé d’un disque plein (D1) percé d’un disque (D2).

Déterminer la position du centre d’inertie G de ce solide.

Exemple : Disque percé

Le centre de masse G du solide (D) est le barycentre des centres de masse des disques (D1) et (D2) affectés respectivement des coefficients +m1 et -m2, ce qui donne, tout calcul fait

Barycentre G


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