Énergie cinétique
Mécanique - Dynamique

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  Cours - Réf:24036 - MàJ:12-12-2007

Expression de l'énergie cinétique - Démonstration

Convention de notation

Dans cette fiche, les vecteurs sont en gras dans le texte, avec des flèches sur les images

Cas d'un solide indéformable

Rappel du théorème

L'énergie cinétique d'un solide indéformable S en mouvement dans un repère R
est la quantité égale à la moitié du comoment des torseurs cinétique et cinématique.

Expression finale pour un solide indéformable

Démonstration

Soit S un solide indéformable en mouvement dans un référentiel R.
Soient P le point courant de masse dm et V(P,S/R) son vecteur vitesse dans le mouvement S/R.

La définition générale de l'énergie cinétique donne l'expression de départ

Reprise de la définition

Sur un solide indéformable, le champ des vecteurs vitesse est équiprojectif et on exprime V(P,S/R) par V(Q,S/R) + ΩΛQP.
On obtient ainsi, après développement du carré scalaire

calcul...

Chacun des trois termes nécessite un calcul :

  1. La première intégrale est immédiate
    calcul...
     
  2. Le deuxième calcul met successivement en œuvre les propriétes du produit mixte, la linéarité de l'intégrale, et la définition de l'opérateur d'inertie
    calcul...
     
  3. Le troisième calcul met successivement en œuvre la linéarité de l'intégrale, la définition du centre de masse et les propriétes du produit mixte
    calcul...

Les trois résultats partiels sont regroupés et on met en facteur m V(Q,S/R) et Ω(S/R)

calcul...

On reconnait dans cette dernière expression le vecteur vitesse V(G,S/R) et le vecteur moment cinétique σ(Q,S/R)

calcul...

Cette expression correpond au comoment des torseurs cinétique et cinématique et le résultat recherché est obtenu

Expression finale


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