Expression de l'énergie cinétique - Démonstration
Convention de notation
Dans cette fiche, les vecteurs sont en gras dans le texte, avec des flèches sur les images
Cas d'un solide indéformable
Rappel du théorème
L'énergie cinétique d'un solide indéformable S en mouvement dans un repère R
est la quantité égale à la moitié du comoment des torseurs cinétique et cinématique.
Démonstration
Soit S un solide indéformable en mouvement dans un référentiel R.
Soient P le point courant de masse dm et V(P,S/R) son vecteur vitesse dans le mouvement S/R.
La définition générale de l'énergie cinétique donne l'expression de départ
Sur un solide indéformable, le champ des vecteurs vitesse est équiprojectif et on exprime V(P,S/R) par V(Q,S/R) + ΩΛQP.
On obtient ainsi, après développement du carré scalaire
Chacun des trois termes nécessite un calcul :
Les trois résultats partiels sont regroupés et on met en facteur m V(Q,S/R) et Ω(S/R)
On reconnait dans cette dernière expression le vecteur vitesse V(G,S/R) et le vecteur moment cinétique σ(Q,S/R)
Cette expression correpond au comoment des torseurs cinétique et cinématique et le résultat recherché est obtenu
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