Variables et fonctions logiques
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  Cours - Réf:35020 - MàJ:07-02-2006

^Variable logique

Une variable logique est une variable qui ne peut avoir que deux états

En logique des propositions, ces états sont les états VRAI et FAUX. Ces états sont communément appelés valeurs de la variable.

Il existe d'autres associations de deux états possibles, car une variable logique est un modèle adapté à l'étude des phénomènes tout ou rien :

Oui
Non
Fermé
Ouvert
-5V
+5V
etc...

Il est fort usuel de coder les deux valeurs possibles d'une variable logique avec les chiffres 0 et 1. Néanmoins, il est nécessaire de garder à l'esprit que ces deux valeurs ne sont pas des nombres.

Exemples

Soit un interrupteur à deux positions et soit a la variable logique définissant son état : on associe à chacune des positions un état de la variable.

États de la variable a
Interrupteur
au repos
Interrupteur
manoeuvré
0
1

Soit une ampoule électrique et soit x la variable logique définissant son état :

États de la variable x
Lampe éteinte
Lampe allumée
0
1

ATTENTION : Ces deux exemples que l'on vient de décrire ne présument pas de l'état des signaux qui permettent de les obtenir. Une lampe peut être allumée alors que l'interrupteur correspondant est au repos.

Exemple d'erreur à éviter

Soit une porte et soit p la variable logique définissant son état : on aimerait associer à chacune des positions de la porte une valeur de la variable.

États de la variable p
valeur animée
Porte
Fermée
0
1

Contrairement à un interrupteur par exemple, une porte non fermée n'est pas une porte ouverte... Il faut une deuxième variable pour définir l'état ouvert !

Ce qui entraîne 2^2=4 états différents possibles pour une porte :

La dernière combinaison surprend, mais c'est ainsi. La combinaison reste possible, même si l'obtenir ne l'est pas.

^Fonction logique

Une fonction logique est une fonction combinatoire définie sur l'ensemble des variables logiques.

Fonction logique de n variables

La fonction est définie par une table de vérité, une équation logique, un tableau de Karnaugh, ou par un schéma logique.
Toutes ces définitions sont équivalentes.

Nombre de fonctions logiques

Une variable logique x ne peut avoir que deux valeurs, codées par exemple 0 et 1.

Définir une fonction logique d'une seule variable fi(x) revient à définir les deux images fi(0) et fi(1), images elles-mêmes à choisir parmi les valeurs 0 ou 1. On a donc 2^2 combinaisons, soit 4 fonctions possibles.

Définir une fonction logique de deux variables g(x,y) revient à définir les images des quatre combinaisons d'entrées (0,0), (0,1), (1,1) et (1,0) parmi les deux valeurs possibles 0 et 1. On a donc 2^22 combinaisons, soit 16 fonctions possibles.

Le dénombrement se généralise : il existe 2^2n fonctions logiques de n variables.

Autres fonctions

En séquentiel, il existe des fonctions d'une seule variable logique qui dépendent également du temps.
Attention, dans ce cas, on n'est plus dans le cadre de la seule logique combinatoire.

^Les fonctions logiques d'une seule variable

Il existe quatre fonctions logiques d'une seule variable, à savoir les fonctions OUI & NON, toujours VRAI et toujours FAUX.

a
0
1
Toujours faux
f0(a) = 0
0
0
OUI
f1(a) = a
0
1
NON
f2(a) = /a
1
0
Toujours vrai
f3(a) = 1
1
1

^Les fonctions logiques de deux variables

Il existe seize fonctions logiques de deux variables

Deux fonctions constantes

f(a,b) = 0
f(a,b) = 1

Les fonctions d'une variable

f(a,b) = a
f(a,b) = /a

f(a,b) = b
f(a,b) = /b

Les fonctions ET & nonET

f(a,b) = a.b
f(a,b) = /(a.b)

Les fonctions OU & nonOU

f(a,b) = a+b
f(a,b) = /(a+b)

Les fonctions Ou exclusif & Identité

f(a,b) = a++b
f(a,b) = /(a++b)

Les fonctions Inhibition

b inhibe a :
f(a,b) = a./b
a inhibe b
f(a,b) = b./a

Les fonctions Implication

a implique b
f(a,b) = /(a./b)
b implique a
f(a,b) = /(b./a)

 

Présentation de quelques unes de ces fonctions sous forme de table de vérité

     
AND
NAND
 
OR
NOR
 
XOR
       
     
ET
NonET
 
OU
NonOU
 
OUX
Identité
 
Inhibition
Implication
a
b
 
a.b
/(a.b)
 
a+b
/(a+b)
 
a++b
/(a++b)
 
a./b
/(a./b)
0
0
1
1
0
1
0
1
 
0
0
0
1
1
1
1
0
 
0
1
1
1
1
0
0
0
 
0
1
1
0
1
0
0
1
 
0
0
1
0
1
1
0
1

^Théorèmes

Théorème 1

Toute fonction logique s'exprime en fonction des quatre opérateurs OUI, NON, ET & OU

Fonctions logiques

Les deux premières lignes sont connues sous le nom de théorèmes de De Morgan.

Théorème 2

Toute fonction logique s'exprime en fonction des quatre opérateurs OUI, NON, NonET & NonOU.

Théorème 3

Il existe des opérateurs logiques dits "universels" permettant de définir toute fonction logique, par exemple les opérateurs logiques NonET et NonOU.


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